El desarrollo del pensamiento matemático del ser humano juega un papel crucial en la solución de problemas y aporta significativamente al avance individual y social. Este artículo socializa los resultados obtenidos de una investigación que tuvo por objetivo contribuir al desarrollo del pensamiento matemático a través de la modelación geométrica y la resolución de problemas en estudiantes del grado octavo, de una institución pública del departamento de Cundinamarca. El análisis de los antecedentes de las pruebas PISA y SABER mostró los bajos desempeños que tienen los estudiantes colombianos en la resolución de problemas y en la modelación. Además, los resultados obtenidos de la implementación de dos actividades exploratorias evidencian que existen escasas habilidades en estos dos procesos. En este marco, se diseñaron y se implementaron ocho actividades didácticas con contenido matemático avanzado adaptado a las edades y al nivel educativo, donde se vincularon dos procesos fundamentales: la modelación geométrica y la resolución de problemas y dos procesos intrínsecos a los fundamentales: la visualización matemática y el Sense Making. Se utilizó un enfoque cualitativo con un diseño de acción participativa, ocho rúbricas, grabaciones de video y audio, la observación participante y una encuesta final. Los resultados evidencian que los estudiantes avanzaron significativamente en el desarrollo de habilidades resolutoras de problemas en contextos simulados o reales, apoyándose en la modelación geométrica y la visualización matemática, donde construyeron conceptos matemáticos robustos dando sentido y significado matemático. Se concluye que la organización y la planificación de la acción práctica de la enseñanza de la matemática bajo los cuatro procesos contribuyó significativamente al desarrollo robusto del pensamiento matemático de los estudiantes.
The development of human mathematical thinking plays a crucial role in problem solving and contributes significantly to individual and social progress. This article socializes the results obtained from research that aimed to contribute to the development of mathematical thinking through geometric modeling and problem solving in eighth grade students of a public institution in the department of Cundinamarca. The background analysis of the PISA and SABER tests showed the low performance of Colombian students in problem solving and modeling. In addition, the results obtained from the implementation of two exploratory activities show that there are scarce skills in these two processes. In this framework, eight didactic activities were designed and implemented with advanced mathematical content adapted to the age and educational level, where two fundamental processes were linked: geometric modeling and problem solving and two processes intrinsic to the fundamental ones: mathematical visualization and Sense Making. A qualitative approach was used with a participatory action design, eight rubrics, video and audio recordings, participant observation and a final survey. The results show that students made considerable progress in the development of problemsolving skills in simulated or real contexts, relying on geometric modeling and mathematical visualization, where they built robust mathematical concepts giving mathematical sense and meaning, favoring important contributions to the development of mathematical thinking. Se concluye que la organización y la planificación de la acción práctica de la enseñanza de la matemática bajo los cuatro procesos contribuyó significativamente al desarrollo robusto del pensamiento matemático de los estudiantes.
El desarrollo del pensamiento matemático mediante un sólido proceso de enseñanza
y aprendizaje permite alcances cognitivos relevantes en los estudiantes de básica
secundaria [1]. Este proceso favorece la adquisición de habilidades y capacidades
fundamentales para estudiar, comprender y usar conceptos matemáticos, establecer
conexiones y relaciones entre ellos. También contribuye a la construcción de argumentos
para validar y representar objetos de manera abstracta, beneficia la comunicación de
ideas matemáticas y estimula la creatividad [2]. Por su parte, un robusto pensamiento
matemático impacta de manera significativa la toma de decisiones diarias, el éxito
académico y profesional, se comprende mejor el mundo que nos rodea y nos prepara
para desafíos matemáticos complejos [3].
En los informes de las pruebas realizadas por el Programa para la Evaluación Internacional
de los Estudiantes (PISA) [4] donde participaron jóvenes de 15 años de las diferentes
instituciones educativas de Colombia, se constata que los resultados en matemáticas
en el país son inferiores a la media de los países participantes pertenecientes a la
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE). En este análisis,
un porcentaje mínimo de estudiantes pueden modelar situaciones y buscar estrategias
para solucionar problemas matemáticos. Resultados similares se muestran en las
evaluaciones externas estandarizadas aplicadas a todos los establecimientos educativos
del país de la educación básica y media (SABER). Esta situación está dada, entre otras
cosas, a las escasas habilidades que poseen los estudiantes, para hacer uso de la
modelación durante el proceso de resolución de problemas [5], [6] y el limitado dominio
de los conocimientos previos.
La revisión de la literatura permitió confrontar algunas dificultades de los estudiantes en
el proceso de resolución de problemas. Entre estas, el reconocimiento de variables y las
relaciones entre ellas [7], escasa estrategias de abordaje para el análisis, la justificación,
comprensión y contextualización de un problema [8] y reducidas habilidades para explicar
las relaciones entre objetos reales y las matemáticas para explorar un problema social
y abordarlo matemáticamente [5] y [9]. En este sentido, para contribuir a la mejora de
los desempeños de los estudiantes en los establecimientos educativos del país, se debe
generar un cambio revelador en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
e impactar positivamente el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
En aras de lograr óptimos aprendizajes y mejores habilidades, se hace necesario que los
estudiantes muestren dominio en la resolución de problemas, apoyados en el proceso de
la modelación geométrica a través de “una metodología que integre los dos procesos en
toda actividad matemática” [10] Esta integración permite el desarrollo oportuno del saber
matemático y el interés por el conocimiento.
Por tal motivo, esta investigación tiene como objetivo contribuir al desarrollo del
pensamiento matemático de estudiantes de la básica secundaria del grado octavo, de una institución Pública del del municipio de Supatá, Cundinamarca, a través de la
construcción robusta de conceptos matemáticos. Para ello, se implementa un sistema
de actividades didácticas que contempla contenido matemático avanzado adaptado a su
nivel escolar. Además, se integra en el aula dos procesos fundamentales: la modelación
geométrica y la resolución de problemas en contextos reales auténticos cercanos a los
estudiantes y dos procesos taxativos a los fundamentales: la visualización matemática y
el Sense Making.
En este artículo, se presentan las intervenciones y los resultados obtenidos del proceso
con 30 estudiantes. Antes de la intervención práctica se implementan dos actividades
exploratorias para caracterizar el desempeño cognitivo de los estudiantes, con los datos
recolectados se diseñan ocho actividades didácticas que contemplan cuatro momentos
en su implementación: motivación exploración, estructuración y transferencia. También,
para evaluar los desempeños se elabora una rúbrica para cada actividad, las cuales fueron
validadas por un grupo de expertos. En esta dirección, para la construcción tanto de las
actividades didácticas como de las rúbricas, se toman los aportes de cuatro referentes
teóricos.
El primer referente es la modelación geométrica, según los resultados investigativos de
[11], [1] y [12] el modelado es el medio para relacionar las matemáticas y la realidad,
logrando despertar afinidad en el estudiante por conocer temas matemáticos en un
contexto específico. De este modo, la modelación puede ser vista como una forma
mediadora entre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la escuela, debido a
sus conexiones con la realidad, pues según [11] permite usar el lenguaje de las matemáticas
para cuantificar fenómenos del mundo real y analizar comportamientos.
Reconociendo que la modelación geométrica como propia de la modelación matemática,
se registran algunas definiciones presentadas por autores que han vinculado la
modelación geométrica en la práctica educativa de las matemáticas. Es así como, [13],
[14], [15], [16] y [17] consideran que, es un proceso donde el conocimiento de la geometría
se utiliza para representar objetos de la realidad, donde conciben la “representación”
como un eje fundamental de la modelación y enfatizan en la importancia que esta tiene
para la resolución de problemas.
Por tanto, la importancia de la modelación geométrica en la escuela radica en que,
también puede ser usada como una estrategia didáctica, porque admite la realización o
uso de modelos que favorecen la resolución y planteamiento de problemas en un contexto
real o simulado, dando significado a la utilidad de las matemáticas en un ambiente de
aprendizaje enriquecido. En el presente estudio la modelación geométrica se establece
como un “proceso intencional de representación, donde se utilizan conocimientos y
recursos para llevar a cabo el análisis, la formulación y la elaboración de un modelo, el
cual brinda elementos para hacer inferencias que favorecen la solución de un problema
en un contexto geométrico” [18].
En esta medida, [19] reconocen que el modelado geométrico optimiza el pensamiento
visual y lógico, así como, las habilidades heurísticas, que permean el robustecimiento
del pensamiento matemático de los escolares. Para [20] el pensamiento matemático se
fortalece con el modelado geométrico cuando se abordan problemas retadores, que van
desde lo real hacia lo matemático. Además, construir modelos y solucionar problemas,
fortalecen destrezas resolutoras, que benefician el razonamiento abstracto, permitiendo
que los estudiantes vinculen los conocimientos informales y los formales de la matemática
para una mejor disposición en el aprendizaje, y un mayor progreso en sus niveles de
desempeño [21].
El segundo referente es la resolución de problemas, el cual, fortalece el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la matemática en el aula. Por su parte, para [22] los problemas
han ocupado un lugar fundamental en el currículo matemático, aunque los términos
“problema” y “resolución de problemas” se han asumido con diversos significados.
Entre estos significados, los autores señalan los siguientes: “Resolver problemas como
contexto, como habilidad y para hacer matemáticas”.
A partir de las definiciones de problemas retadores abordadas por [23], [24], [25],
[26], [27] y [28] los problemas retadores son aquellos que: deben integrar conceptos
coherentes y que para encontrar su solución obliga a los estudiantes a construir redes o
mapas conceptuales que favorezcan el aprendizaje. Para [29] la resolución de problemas
retadores asegura que los estudiantes piensen y razonen productivamente. Por tanto, el
pensamiento matemático se amplía y se favorece en este proceso cuando se involucra
la modelación geométrica. Así mismo, para [2] tanto la modelación geométrica como la
resolución de problemas, permiten a los estudiantes explorar su creatividad y afianzar
estrategias resolutoras, porque robustece las habilidades en la construcción de conceptos
para alcanzar un pensamiento matemático robusto.
En el tercer referente teórico está la visualización matemática, concebida como una
habilidad que presenta de diversas maneras la información visual, donde se hace uso de
nociones matemáticas, del lenguaje y de lo gestual. Para [30], [31] y [32] la visualización
debe ser vinculada en todos los modos del pensamiento matemático y formas de
representación, para reproducir ideas de forma simbólica, numérica y gráfica. Por tanto, la
visualización implica una comprensión que proviene de la intuición a través de imágenes
formadas por la mente. Es así como, la visualización pone en ejercicio estructuras
cognitivas para la resolución de problemas porque es un conjunto de procesos mentales
que se dan en la actividad matemática permitiendo tres acciones fundamentales:
representar, transformar y comunicar [18].
El cuarto referente es el Sense Making, para [33] el Sense Making como creación de
sentido implica la construcción de entendimientos y significados plausibles. Siendo
una actividad muy útil que requiere moverse entre la heurística y la generalización. De
esta manera, crear sentido puede verse como un proceso, en el cual una persona da
significado a la experiencia y le permite alcanzar conocimientos disciplinares. Para [34]
el Sense Making en la educación concede a los estudiantes enmarcar su actividad como
el camino para la construcción de nuevos saberes. Además, les permite descubrir nuevas oportunidades de aprendizaje utilizando sus ideas, intuiciones y experiencias propias. En
esta medida, el sentido matemático se construye a partir del abordaje de problemas en
diversos contextos como fuente de significado porque el estudiante vincula elementos
de su entorno y la realidad.
La investigación se desarrolló bajo un enfoque cualitativo con un diseño de investigación
acción participativa, centrado en los sujetos de forma integral y completa, por medio de
un proceso de indagación inductivo, de interacción con los participantes y bajo el análisis
de los datos descriptivos recolectados a raíz del avance de los acontecimientos. Además,
se buscó construir la realidad tal como se observa, de manera objetiva durante todo el
proceso, sin alterar ni imponer, donde nos apropiamos de una realidad epistémica en
relación con los individuos partícipes [34], cuyo objetivo fue cambiar la realidad, ofreciendo
una oportunidad para mejorar y fortalecer la construcción del saber matemático en los
estudiantes que participan.
El desarrollo de este estudio se realizó con 30 estudiantes de secundaria de la Institución
Educativa Nuestra Señora de la Salud (Supatá, Colombia) del octavo grado. Esta unidad
de análisis se seleccionó de manera intencional, según características específicas del
grupo, la condescendencia y oportunidad de acercamiento por parte de los investigadores,
organizados en 10 grupos equitativos, nombrados como G1, G2 hasta llegar a G10.
Se implementaron ocho actividades didácticas, cada una de ellas contemplaban 4
momentos: de exploración, en este momento se desarrollan ejercicios de visualización
mental de objetos geométricos y momento de motivación en este se llevan a cabo
experiencias sencillas donde se usa material concreto estructurado y no estructurado.
También, el momento de estructuración, donde se proponen problemas retadores en base
a contextos simulados y el momento de transferencia en este se proponen problemas
retadores en contextos reales auténticos (lugares conocidos por los estudiantes). El
proceso de resolución de problemas se estudia en base a tres fases propuestas por [36]
abordaje, ataque y revisión. En cuanto, al proceso de modelación se hizo bajo el ciclo
simplificado propuesto por [37] (simplificar, matematizar, interpretar y validar).
Para la recolección de los datos se usaron ocho rúbricas para evaluar de manera objetiva y
crítica el aprendizaje construido y las habilidades desarrolladas por los estudiantes durante
el proceso, una encuesta con preguntas cerradas y algunas abiertas, cuyo propósito fue
identificar las percepciones de los estudiantes con respecto a la implementación de las
actividades en aula. Además, se llevó a cabo el análisis de las grabaciones en video y
la observación participante para la identificación de argumentos relacionados con los
logros y dificultades en el proceso de aprendizaje.
El análisis de los resultados evidencia un dominio efectivo del contenido matemático abordado, los estudiantes usan sus conocimientos previos, donde no solo construyen nuevos saberes, sino que, también fortalecen aquellos que aún no dominaban completamente, lo cual se da en la misma dirección a lo asumido por [21]. A pesar de que los temas abordados no forman parte del currículo y son de un nivel avanzado, se nota que los estudiantes logran una comprensión sólida de los mismos y se muestran motivados en la exploración y la consolidación de nuevos aprendizajes (Tabla N° 1). La planificación y ejecución de las actividades en las cuatro etapas (motivación, exploración, estructuración y transferencia) evidencian un progreso cognitivo notable por parte de los estudiantes.
En cuanto a la visualización, los grupos logran comprender de manera clara y rápida las
ideas de los problemas propuestos y desarrollan habilidades para llevar a cabo diversas
formas de representar, como lo asume [29]. Así mismo, pueden comprobar si sus
soluciones o las de sus pares tienen sentido y cómo comunicarlas de manera efectiva,
como parte primordial del uso de estrategias metacognitivas en las que se apoyan los
estudiantes para dar solución a un problema matemático como es asumido por [3]. Dado
que, se concibe un aprendizaje potencial a partir de la interrelación y socialización con
sus pares.
Con respecto, a la resolución de problemas en la fase de “abordaje” los estudiantes
identifican estrategias para resolverlos, hacen uso de la parte experiencial que se da en los
primeros momentos de la actividad. En la fase “ataque” se apoyan en reglas geométricas,
construyen modelos para llegar a la solución y en la fase “revisión” reconocen sus aciertos
y descubren las variadas formas de resolverlos. En este sentido, los estudiantes alcanzan
potencialmente habilidades para la resolución de problemas como lo propone [35] dado
que, estas habilidades se favorecen a medida que se consolidan estrategias en cada
una de ellas, permitiendo que los problemas matemáticos sean más comprensibles para
resolver.
Enfatizando en las fases de la resolución de problemas el 72% de los grupos en la
competencia de abordaje logran un nivel desempeño alto (DA) y el 28% en (DM), en la
fase ataque el 73% en DA y el 27% en DM y en la fase de revisión un 81% en DA y 19%
en DM. En esta medida, se encuentran progresos significativos en cada una de ellas. Por
su parte, la fase con mayor dificultad para los grupos es el “abordaje” dado a sus pocas
habilidades en la comprensión de un problema y la identificación de variables, lo cual se
optimiza a medida del trabajo en aula, como se muestra en el gráfico N°1.
Durante el desarrollo de las actividades la resolución de problemas es un proceso
dinámico que estimula la creatividad de los estudiantes evidenciando lo asumido por [2],
donde aplican los conocimientos adquiridos para dar significado a la realidad. En este
proceso, se evidencia la capacidad de los estudiantes para analizar, comprender, razonar
y generalizar a partir de diversos contextos dando apelación a lo contemplado con [29].
Por lo tanto, la resolución de problemas matemáticos retadores obtiene la integración de
la modelación matemática, donde ambos procesos se desarrollan de manera inherente
en el estudiante. Es así como, la resolución problemas involucra situaciones en contextos
reales o simulados que permiten determinan la seguridad del modelo y la confianza de
las respuestas obtenidas.
En relación con la modelación geométrica, en la fase “simplificar” los grupos logran
comprender los problemas, por medio de preguntas heurísticas e identifican los aspectos
claves. En la fase “matematizar” crean diversos modelos y usan algoritmos matemáticos
para acercarse a la solución. En la fase “interpretar” a partir de los resultados obtenidos
en cada grupo y en la socialización con sus pares consolidan los conceptos previstos
para cada actividad. En este sentido, los grupos relacionan estas interpretaciones con el
contexto real del problema y en la fase “validar” los estudiantes revisan sus respuestas,
identificando si son acertadas y si éstas dan una solución al problema, además comunican
a sus compañeros de forma clara sus resultados y cómo llegaron a ellos. De este modo,
los estudiantes logran llevar a cabo las cuatro fases en el modelado alcanzando destrezas
resolutoras considerables como lo disciernen [ 37].
En las fases de la modelación geométrica la evolución es relevante a medida en que se
avanza en la implementación, en la fase de simplificar el 70% de los grupos logran el
desarrollo de competencias en un DA y el 30% en un DM, en la fase matematizar un 73%
en DA y el 27% en DM, en la fase interpretar el 75% logra un nivel un DA y el 25% en DM
y en la fase validar el 81% se encontró en un DM y 19% en DA. Por consiguiente, las fases simplificar y matematizar fueron de mayor exigencia para los grupos como se muestra
en el gráfico N° 2.
La modelación geométrica contribuye sustancialmente a la comprensión de las
matemáticas, otorgando significado a la realidad simplificada, que pueden los estudiantes
transformar en la formalidad matemática como lo admite [19]. Los modelos geométricos
desarrollados establecen vínculos estrechos con la resolución de problemas, el sentido y el
pensamiento matemático. Por ende, la resolución de problemas promueve el aprendizaje
y el progreso continuo a través de la construcción de modelos para el análisis y obtención
de una respuesta que favorece la experiencia para aplicarlos a situaciones similares.
En consecuencia, la modelación geométrica y la resolución de problemas ofrecen a los
estudiantes la capacidad de reconocer la importancia y los beneficios de las matemáticas,
mejorando la motivación y la comprensión, evidenciando lo exteriorizado por [2]. Además,
les permite seleccionar y utilizar adecuadamente herramientas matemáticas, tanto
en entornos reales como simulados. Asimismo, facilita la conexión entre la teoría y la
práctica, fomentando un aprendizaje significativo que contribuye al sólido entendimiento
de los conceptos matemáticos.
Por su parte, en el Sense Making los grupos desarrollan un entendimiento significativo
de conceptos geométricos donde se reconoce las afirmaciones de [34]. De igual manera,
hacen un acercamiento a generalizar reglas a partir de situaciones para fortalecer su
sentido matemático en concordancia con [3] y desarrollan algunas habilidades en la
resolución de problemas retadores en contextos y favorecen la habilidad de visualización
y conceptualización de relaciones geométricas.
En cuanto a los resultados generales de las ocho actividades, en cada uno de los cinco
procesos los estudiantes alcanzan los aprendizajes propuestos y se ubican en los niveles
medio y alto. Esto demuestra que los procesos se fortalecen a medida que se interviene en el aula. Por tanto, los resultados promedio muestran que el 62% de grupos se encuentran
en DA y el 38% en DM como se evidencia en el gráfico N°3.
La encuesta realizada a los estudiantes luego de la intervención en el aula evidencia que
el 70% de los estudiantes reconocen en un alto grado la motivación para la construcción
del aprendizaje, el 80% considera que las actividades les generó motivación para el
trabajo autónomo, el 90% afirman que los problemas trabajado en el aula son retadores
y les permite la construcción de conceptos matemáticos nuevos y el 70% identifica
que existen mejoras en las habilidades y capacidades en los procesos de resolución de
problemas, modelación geométrica, visualización y Sense Making. En esta medida, existe
un buen consenso de los grupos de trabajo y una validación positiva a las actividades
didácticas trabajadas.
Con respecto a la pregunta abierta sobre los aspectos que consideran interesantes
en las actividades los grupos dan diversos argumentos. Entre estos, un estudiante del
grupo 3 (G3) sostiene que “Los problemas fueron interesantes. Aunque, algunos fueron
difíciles, pero pudimos resolverlos”. Por su parte, G7 asegura que “Fue interesante usar la
computadora y programas para solucionar los problemas”, entre otros argumentos que
dejan muestra del impacto positivo que tuvo el desarrollo de las actividades didácticas
en el aprendizaje de los estudiantes y la motivación generada durante la intervención.
El conjunto de actividades propuesto favoreció el proceso de aprendizaje, facilitando
el desarrollo de habilidades cognitivas, capacidades y la construcción de significado
de conceptos de manera integral. Esto posibilitó que el estudiante pudiera integrar
exitosamente la tecnología, la comunicación efectiva, la creatividad y el trabajo en equipo
en su aprendizaje.
Los estudiantes adquirieron destrezas en la resolución de problemas, logrando
implementar estrategias para identificar información relevante en cada problema.
Asimismo, fueron capaces de descomponerlos en componentes más simples, aplicando
conceptos matemáticos a contextos reales o simulados, y mejoraron sus habilidades
comunicativas al expresar de manera clara ideas matemáticas.
Durante la fase de modelación geométrica, los estudiantes abordan problemas
matemáticos mediante la aplicación de principios geométricos. Planificaron y
construyeron modelos válidos que les posibilitaron reflexionar sobre situaciones del
mundo real, simplificando complejidades hacia modelos geométricos más accesibles en
busca de la abstracción y la generalización. El intercambio de ideas con sus compañeros
enriqueció su comprensión, y mostraron mejoras progresivas a medida que avanzaban
en la implementación del sistema de actividades.
La utilización de la visualización matemática fue beneficiosa para el proceso de
aprendizaje en la implementación del sistema de actividades. También se progresó en el
fortalecimiento de habilidades para identificar las relaciones entre objetos geométricos
y figuras en el espacio. Mediante las actividades de visualización mental en la etapa de
motivación, los estudiantes lograron imaginarse y manipular objetos y figuras geométricas.
En la creación de sentido y significado matemático los estudiantes avanzaron notablemente
al establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y su aplicación en diversos
contextos. Asimismo, mejoraron sus habilidades para resolver problemas y aplicar la
modelación en situaciones que involucraban contextos reales o simulados expresándolos
en términos matemáticos. De igual forma, lograron comunicar eficazmente sus ideas y
fueron conscientes de sus progresos en el proceso de aprendizaje.
Se consideran aportes importantes en el aprendizaje con el desarrollo de las actividades
en cada uno de los momentos que las componen (motivación, exploración, estructuración
y transferencia). Por tanto, la organización y la planificación de la acción práctica de
la enseñanza de la matemática contribuyó significativamente al desarrollo robusto del
pensamiento matemático de los estudiantes.
Agradecimientos: los autores agradecen a la Universidad Antonio Nariño sede Federman
por el respaldo y aportes a la investigación a través del Doctorado en Educación
Matemática. Así como, a la Institución Educativa Departamental Nuestra Señora de la
Salud por facilitar los espacios físicos y tecnológicos para la implementación práctica de
las actividades.
[1] G. Stillman. “Applications and modelling research in secondary classrooms: What
have we learnt?” In Selected regular lectures from the 12th International Congress on
Mathematical Education. Springer, Cham, pp.791-805, 2015.
[2] M. Wickstrom y M. “Roscoe Geometric Modeling: determining the Largest Lake”.
Mathematics Teacher: Learning and Teaching PK-12, 113(8), pp. 643-650, 2020.
[3] A. Schoenfeld. “The What and the Why of Modeling. In Affect in Mathematical
Modeling”. En S. Chamberlin y B. Sriraman, Springer, Cham, pp.91-96, 2019.
[4] Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA). Colombia. Noviembre
de 2020. [Online]. de https://www.oecd.org/pisa/publications/PISA2018_CN_COL_
ESP.pdf
[5] S. Edo, R. Putri y Y. Hartono. “Investigating secondary school students’ difficulties in
modeling problems PISA-Model Level 5 and 6”. Journal on mathematics Education,
4(1), pp. 41-58, 2013.
[6] J. Villa y C. López. “Sense of reality through mathematical modelling. In Trends in
teaching and learning of mathematical modelling”. pp. 701-711. Springer, 2011.
[7] M. Sol, J. Giménez y N. Rosich. “Trayectorias modelizadoras en la ESO”. Modelling in
Science Education and Learning, 4, pp. 329-343, 2011.
[8] M. Socas, J. Hernández y M. Palarea. “Dificultades en la resolución de problemas
de Matemáticas de estudiantes para profesor de educación primaria y secundaria”.
Funes, pp.145-154, 2014.
[9] D. Kadijevich. “Simple spreadsheet modeling by first-year business undergraduate
students: Difficulties in the transition from real world problem statement to mathematical
model”. En Blomhj, M, & Carreira, S. Proceedings of the 11th International Congress on
mathematical Education. IMFUFA 461, pp. 241-248, 2009.
[10] L. Rico. “La competencia matemática en PISA”. Revista de Investigación en Didáctica
de la Matemática, 1(2), pp. 47-66, 2007.
[11] K. Bliss y J. Libertini. Lineamientos para la evaluación e instrucción en la educación
en modelación matemática. Gaimme. Society for industrial and applied mathematics
(SIAM), 2020.
[12] W. Blum, P. Galbraith, H. Henn y M. Niss. “Modelling and applications in mathematics
education”, Vol. 10. MA: Springer US, 2007.
[13] C. Alsina. “Geometría y realidad”. Sigma, vol. 33, pp.165-179, 2008.
[14] F. Zapata, N. Cano y J. Villa. “Art and Geometry of Plants: Experience in Mathematical
Modelling through Projects”. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology
Education, 14(2), pp. 585-603, 2017.
[15] P. Herbst y N. Boileau. “Geometric modeling of mesospace objects: A task, its didactical
variables, and the mathematics at stake”. In Visualizing Mathematics Springer, Cham,
2018.
[16] M. Ludwig y S. “Jablonski. Doing Math Modelling Outdoors-A Special Math Class
Activity designed with MathCityMap”. In HEAD 19. 5th International Conference on
Higher Education Advances. Universität Politécnica de Valéncia, pp. 901-909, 2019.
[17] Entrevista Y. Baldín, 2021.
[18] L. Fonseca. “Modelo didáctico para el desarrollo del pensamiento matemático a través
de la resolución de problemas y la modelación geométrica”. [Tesis de doctorado no
publicada]. Universidad Antonio Nariño. Colombia, 2023.
[19] A. Balyakin y L. Chempinsky. “Experience of teaching geometric modeling at schools
and universities”. In Journal of Physics: Conference Series, Vol. 1691, No. 1, pp. 012042,
2020.
[20] P. Herbst. “Geometric Modeling Tasks and Opportunity to gain experience Geometry:
The Ranking Triangles Task Revisited”. In Problem Solving in Mathematics Instruction
and Teacher Professional Development, pp. 123-143. Springer, Cham, 2019.
[21] T. Braicovich, S. Oropeza, y V. Cerda. “Un desafío: incluir grafos en los distintos niveles
educativos”. Memorias del II REPEM, pp. 70-76, 2008.
[22] T. Braicovich, S. Oropeza, y V. Cerda. “Un desafío: incluir grafos en los distintos niveles
educativos”. Memorias del II REPEM, pp. 70-76, 2008.
[23] S. Krulik y J. Rudnick. Problem solving: A handbook for teachers. Allyn and Bacon, Inc.,
7 Wells Avenue, Newton, Massachusetts 02159, 1987.
[24] M. Falk. “La enseñanza a través de problemas”. Universidad Antonio Nariño, Bogotá,
Colombia. 1980.
[25] M. Diaz y Á. Poblete. “Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula”.
Números, 45, pp. 33-41, 2001.
[26] F. Pérez. Olimpiadas Colombianas de Matemáticas para primaria 2000 - 2004. Bogotá:
Universidad Antonio Nariño, 2004.
[27] J. Sigarreta y J. Marcia. “Modelo Didáctico para la Formación Axiológica a través de
la Resolución de Problemas Matemáticos”. Matemática, educación e internet, Vol.4,
2003.
[28] M. Pochulu y M. Rodríguez. Educación Matemática: aportes a la formación docente
desde distintos enfoques teóricos. Villa María, Argentina: Editorial Universitaria Villa
María, pp. 155, 2012.
[29] R. Mesino, O. Velásquez y M. Ramírez. “Modelo pedagógico inclusivo para la enseñanza
aprendizaje de la matemática a través de la resolución de problemas de niños en
grado quinto con TDAH”. Revista de Gestão e Secretariado (Revista Profesional de
Gestión y Administración), 14 (8), pp.13561-13588, 2023.
[30] W. Zimmermann y S. Cunningham. “Editor’s introduction: What is mathematical
visualization”. Visualization in teaching and learning mathematics, 1(8), 1991.
[31] N. Presmeg. “Research on visualization in learning and teaching mathematics:
Emergence from psychology”. In Handbook of research on the psychology of
mathematics education, pp. 205-235, 2006.
[32] R. Hershkowitz. Psychological aspects of learning geometry. In Mathematics and
cognition, pp. 70-95. The Weizmann Institute of Science, 1990.
[33] D. Ancona. “Framing and Acting in the Unknown”. S. Snook, N. Nohria, & R. Khurana,
the handbook for teaching leadership, 3(19), pp.198-217, 2012.
[34] T. Odden y R. Russ. “Defining sensemaking: Bringing clarity to a fragmented
theoretical construct”. Science Education, 103(1), pp.187-205, 2019.
[35] C. Castaño Y M. Quecedo. Introducción a la metodología de investigación cualitativa,
2002.
[36] J. Mason, L. Burton, y K. Stacey. Thinking Mathematically. Harlow: Pearson, 2010.
[37] J. Brown y G. Stillman. “Developing the roots of modelling conceptions: ‘Mathematical
modelling is the life of the world”. International Journal of Mathematical Education in
Science and Technology, 48(3), pp. 353-373, 2012.