Introducción: El aprendizaje significativo es entendido como aquel aprendizaje que va más allá de ser memorístico hasta lograr un verdadero conocimiento que no se olvida y que es aplicable toda la vida. Si un profesor promueve únicamente el aprendizaje de las matemáticas solamente logrará que los estudiantes memoricen un compendio de fórmulas y procedimientos que de nada les servirán y muy difícilmente encontrarán oportunidades para aplicarlos; en cambio, si genera ambientes de aprendizaje de las ciencias mediante acciones didácticas y prácticas pedagógicas que integren contenidos, conceptos, procedimientos y valores logrará que los estudiantes alcancen aprendizajes significativos en matemáticas. Objetivo: Desarrollar prácticas pedagógicas y estrategias didácticas para abordar y consolidar conceptos y propiedades que conlleven a que el aprendizaje de las matemáticas se vuelva significativo. Metodología: La investigación es de carácter educativo y se enmarca desde un enfoque multimétodo en el paradigma cualitativo mediante método de investigación acción educativa centrada en el descubrimiento de problemas y métodos de solución con el propósito de identificar oportunidades para mejorar la práctica pedagógica de los docentes en busca de generar aprendizaje significativo de las matemáticas en sus estudiantes e interpretativo a partir de análisis de resultados del proceso obtenidos por observación participante, entrevistas aplicadas a docentes y opiniones recolectadas mediante grupo focal en que participaron estudiantes de las instituciones participantes y desde el paradigma cuantitativo en el análisis de test de valoración del pensamiento matemático. Conclusiones: La experiencia permitió visualizar el compromiso con el que abordan los estudiantes las actividades propuestas y la generación de un ambiente de aula con implementación de aprendizaje cooperativo que favorece la relación entre docentes y estudiantes generando alternativas de trabajo en búsqueda de lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas. El trabajo mediante aprendizaje basado en problemas y aprendizaje cooperativo permitió motivar a los estudiantes en el desarrollo del proceso de construcción de su propio conocimiento mediante el trabajo en equipos cooperativos en los que determinan roles según sus habilidades y participan activamente en la construcción de un conocimiento colectivo. El estudio permitió determinar que las prácticas pedagógicas desarrolladas por docentes que impliquen innovación y creatividad en los alumnos, que propendan por el trabajo cooperativo y que relacionen las matemáticas con otras disciplinas que sean en cierta forma atractivas a los estudiantes, conllevan a generar ambientes de aprendizaje significativo de las matemáticas.
Introduction: Significant learning is understood as that learning that goes beyond being memoristic to achieve true knowledge that is not forgotten and that is applicable throughout life. If a teacher promotes only the learning of mathematics, he/she will only get students to memorize a compendium of formulas and procedures that will be of no use to them and they will hardly find opportunities to apply them; on the other hand, if he/she generates learning environments for science through didactic actions and pedagogical practices that integrate contents, concepts, procedures and values, he/she will get students to achieve significant learning in mathematics. Objective: To develop pedagogical practices and didactic strategies to address and consolidate concepts and properties that lead to making mathematics learning meaningful. Methodology: The research is of an educational nature and is framed from a multi-method approach in the qualitative paradigm through educational action research method focused on the discovery of problems and solution methods with the purpose of identifying opportunities to improve the pedagogical practice of teachers in search of generating meaningful learning of mathematics in their students and interpretative from analysis of results of the process obtained by participant observation, interviews applied to teachers and opinions collected through focus group in which students from the participating institutions participated and from the quantitative paradigm in the analysis of mathematical thinking assessment test. Conclusions: The experience allowed visualizing the commitment with which students approach the proposed activities and the generation of a classroom environment with implementation of cooperative learning that favors the relationship between teachers and students generating work alternatives in search of achieving significant learning of mathematics. The work through problem-based learning and cooperative learning allowed motivating students in the development of the process of building their own knowledge by working in cooperative teams in which they determine roles according to their abilities and actively participate in the construction of collective knowledge. The study made it possible to determine that the pedagogical practices developed by teachers that involve innovation and creativity in the students, that promote cooperative work and that relate mathematics with other disciplines that are somehow attractive to the students, lead to generate significant learning environments in mathematics.
El aprendizaje significativo es entendido como aquel aprendizaje que va más allá de ser
memorístico hasta lograr un verdadero conocimiento que no se olvida y que es aplicable
toda la vida [1,2]; así la persona cuenta con conocimientos racionales que sabe dónde y
cuándo emplearlos; sin embargo, la construcción de ese nuevo conocimiento se basa en
los conceptos previos y los resultados guardan estrecha relación con el proceso vinculado
al aprendizaje en el que confluyen profesor y alumno en una actuación complementaria
en el marco de la institución educativa [3,4]. Un profesor que promueve el aprendizaje
significativo estimula el aprendizaje de la ciencia para despertar en sus estudiantes el
amor por el conocimiento [5-7].
Si un profesor promueve únicamente el aprendizaje de las matemáticas solamente
logrará que los estudiantes memoricen un compendio de fórmulas y procedimientos que
de nada les servirán y muy difícilmente encontrarán oportunidades para aplicarlos. Así,
solo la integración de las acciones didácticas referidas a los contenidos, especificados
por su característica interna integrando conceptos, procedimientos y valores, facilitarán
la integración del aprendizaje. Desde esta óptica, el profesor debe generar ambientes
de aprendizaje de las ciencias con el fin de que los estudiantes alcancen aprendizajes
significativos en matemáticas.
Lograr aprendizajes significativos no es tarea fácil, se debe recurrir a diferentes
metodologías activas como laboratorios, trabajo colaborativo [8-10], trabajo cooperativo
[11,12], aprendizaje basado en problemas [13,14] y en proyectos [15-17] que capten
la atención de los estudiantes y les faciliten la construcción de mapas mentales y
conceptuales como herramientas que facilitan el entorno visual, llamativo y aplicativo
de las matemáticas aplicadas a las diferentes ciencias y disciplinas del conocimiento y
proyectadas en su entorno de aprendizaje [18-20]
La práctica pedagógica se concibe como un como un proceso de auto reflexión que se
convierte en un espacio donde confluyen diferentes modelos educativos en un ambiente
de interacción activa y continua de docente y estudiantes que fundamenta la formación
permanente del docente, la promoción de la investigación acción y la reflexión crítica
sobre su propia labor y en la relación de la docencia e investigación con la enseñanza
que imparte y el aprendizaje en matemáticas alcanzado por sus estudiantes.
El docente en el ejercicio de su práctica pedagógica desarrolla tres saberes, el disciplinar,
el pedagógico y el académico [21]. En este sentido su labor se fundamenta en un saber
disciplinar tanto en conocimientos matemáticos como pedagógicos que le permiten por
una parte, acrecentar su conocimiento matemático y, por ende, las aplicaciones de la
matemática necesarias para abordar con mayor profundidad el planteamiento y solución
de problemas en el contexto social y cultural en que se encuentre y, de otra parte, diseñar
procesos educativos innovadores que respondan a las necesidades específicas de sus
estudiantes y propendan por el desarrollo de su pensamiento matemático [22-24].
La labor del docente se centra entonces en el conocimiento específico de las matemáticas
y sus aplicaciones, en el diseño y puesta en funcionamiento de ambientes de aprendizaje
apropiados que le permitan al estudiante acceder al conocimiento matemático,
interpretarlo, comprenderlo y aplicarlo y, al mismo tiempo, estar dispuesto a vivenciar su
propia transformación académica que le lleven generar oportunidades para fundamentar
constantemente sus aportes al saber matemático, sus aplicaciones y la forma de acceder
a su conocimiento [25,26].
La propuesta que se plantea en esta investigación permite incentivar la generación de
prácticas pedagógicas que van más allá del simple uso de la matemática recreativa en
la educación matemática, que de por sí, además de ser divertida, constituyen estrategias
para abordar y consolidar conceptos y propiedades que conlleven a que el aprendizaje
de las matemáticas se vuelva significativo. Los ambientes didácticos propuestos y las
experiencias realizadas permiten al estudiante la generación de mapas mentales y
conceptuales en un entorno visual contextualizado, integrar diferentes conocimientos y
saberes tanto de las matemáticas como de otras ciencias, interactuar con compañeros,
docentes y medio ambiente para generar espacios en los que acceda al aprendizaje
de forma lúdica, pero bajo el rigor disciplinar, para vivenciar prácticas, laboratorios,
experiencias y experimentos encaminados al desarrollo de habilidades cognitivas y
aprendizajes matemáticos significativos.
Las pruebas se elaboraron bajo la metodología de la teoría de respuesta al ítem, que
permite evaluar, para cada ítem, la posibilidad de adivinar la respuesta correcta, su
dificultad y su capacidad de discriminación. El valor obtenido en la prueba es el valor
acumulado de los puntajes obtenidos en cada uno de los ítems que la conforman. Las
pruebas se valoran previamente en grupos paralelos e independientes a los participantes
en la investigación y las curvas características obtenidas para cada una permitieron
identificar que ambos test tienen similar grado de dificultad, capacidad de discriminación
y probabilidad de adivinación [38-41]. Las puntuaciones obtenidas en cada prueba se
ajustaron en una escala de cero a cinco, donde cinco indica respuesta correcta en todos
los ítems.
Los participantes fueron seleccionados por conveniencia a criterio de los investigadores.
Se seleccionaron cuatro instituciones educativas de educación media, ubicadas en la
zona urbana del municipio de Cúcuta, dos del sector oficial y dos del sector privado. En
cada institución se contactó a los docentes de matemáticas de grado once (último grado
de formación en educación media) y se establecieron criterios para aplicar las estrategias
pedagógicas diseñadas en el marco de la investigación. Participaron cuatro docentes y
158 estudiantes, 99 de dos instituciones educativas públicas y 59 de dos privadas. La
intervención educativa se realizó con la participación de todos los estudiantes de los
cursos seleccionados.
Para el desarrollo del trabajo de campo, en primera instancia, se realizó sesión de
capacitación a los docentes seleccionados incluyendo simulación académica de las
actividades. En cada curso se desarrollaron dos actividades pedagógicas enfocadas al
desarrollo del pensamiento matemático, una enfocada principalmente al desarrollo del
pensamiento numérico y la otra al pensamiento espacial, pero ambas incluyen trabajo con
pensamientos métrico, aleatorio y variacional. Finalmente se realizó valoración cualitativa
de los resultados obtenidos.
Fase I: Diagnóstico
Al iniciar la investigación se realiza un diagnostico por medio de entrevista a docentes,
grupos focales de estudiantes y test de valoración conocimientos matemáticos
Para el fortalecimiento del pensamiento matemático se hizo necesario en primer lugar
identificar las prácticas pedagógicas de los docentes y los factores que inciden en su
desarrollo dentro y fuera del aula, se detectó que los estudiantes no dan la importancia que
requiere la matemática para su aprendizaje, pese a que los docentes realizan actividades
de trabajo que implican aprendizaje basado en problemas y desarrollo de proyectos; los
estudiantes participan, desarrollan las actividades identificadas y logran los objetivos,
pero no encuentran la esencia de la matemática como elemento fundamental del
proyecto y, en ocasiones, se quedan solamente en la aplicación del concepto matemático
relacionado.
Los docentes utilizan pedagogías activas centradas en el estudiante como sujeto activo
del aprendizaje en procura de fortalecer competencias específicas del saber matemático
propiciando, en particular, la autoactividad y el uso de las metodologías de aprendizaje
basado en problemas y en proyectos y el trabajo colaborativo y cooperativo entre
estudiantes.
En el pre-test se obtuvo una puntuación promedio de 2,86 con desviación estándar
de 1,07 al valorar el nivel de pensamiento matemático. La prueba de KolmogorovSmirnov permitió establecer que los resultados obtenidos se ajustan a una distribución
aproximadamente normal. Para análisis y comparación de los resultados en los grupos
conformados por los estudiantes de las diferentes instituciones educativas se aplicaron
pruebas de Bartlett y Fisher. La prueba Bartlett aplicada a la comparación de las
varianzas indicó homocedasticidad entre los grupos y el procedimiento de análisis de
varianza aplicado para comparar los grupos permitió concluir, mediante la prueba Fisher,
la no existencia de diferencias significativas entre los promedios. Con base en estos
resultados, se optó por trabajar, desde el punto de vista cuantitativo, sin diferenciar los
grupos de estudiantes por institución.
Fase II: Intervención Pedagógica
La práctica pedagógica involucra tres saberes en el docente, el saber disciplinar
relacionado con el conocimiento científico específico, el saber pedagógico que refiere a
la forma como diseña estrategias didácticas y pedagógicas para acercar el conocimiento
a los estudiantes y el saber académico que implica la transformación que, como persona,
experimenta en el proceso [21]. Por otra parte, el estudiante experimenta un aprendizaje
significativo cuando experimenta comprensión e identifica utilidad en el conocimiento
nuevo que está asimilando. Sólo si se logra que el estudiante se motive, comprenda,
analice y aplique los nuevos conocimientos, se puede deducir que está desarrollando el
pensamiento matemático [26,45,46]
Desde esta óptica, se diseñaron dos actividades pedagógicas que involucran trabajo cooperativo de los estudiantes y les lleva a encontrar aplicaciones de la matemática
en campos de acción que están presentes en su diario vivir, pero que no habían sido
exploradas. La primera corresponde a una simulación de tipo lúdico y la segunda al
cálculo de un volumen. El docente realiza una introducción presentando los elementos
básicos de la actividad, conforma los equipos de trabajo y deja abierta la acción para que
sean los estudiantes quienes desarrollen las actividades bajo su propia espontaneidad,
responsabilidad y creatividad. Finalmente se realiza socialización y análisis de resultados.
Actividad 1: Juego de la Bolsa de Valores
La bolsa de valores es un organismo que opera en el mercado de valores donde se realizan
transacciones de valores, mediante mecanismos continuos de subasta pública [47]. Se
trabaja mediante un proceso simulado en el cual solamente se realizan transacciones
con las acciones de una sola empresa [48]. Se conforman grupos de tres estudiantes,
cada grupo cuenta con un capital representado en dinero en efectivo (ficticio) y acciones
de la empresa cuyo valor está previamente establecido; esto constituye el periodo actual.
Para el siguiente periodo, el precio de las acciones puede variar (tres estados: el precio
sube, baja o permanecer estable). La variación en cada estado siempre es del 10% del
valor actual de la acción). Un analista económico (que puede ser un docente invitado)
expresa las probabilidades de ocurrencia de cada estado (por ejemplo 40% al alza,
50% estable y 10% a la baja); con base en estas expectativas, los grupos de estudiantes
realizan transacciones en la bolsa: venden y compran acciones. A continuación, en una
bolsa se colocan 4 balotas color rojo (alza), 5 blancas (estable) y una azul (baja) para
generar un proceso aleatorio equiprobable a la predicción del analista; el docente escoge
al azar una balota y esta define la dirección que el mercado toma. Algunos estudiantes
ganan, otros pierden, se genera una dinámica y, por supuesto, todos realizan cálculos
y estiman su nuevo capital. El juego se realiza varias veces, al final cada equipo calcula
su nievo capital, describe la situación y analiza procedimientos y resultados. Una vez
familiarizados con el juego, se pueden incorporar otros participantes, por ejemplo, un
grupo de estudiantes puede operar como un banco que capta y presta dinero a tasas de
interés establecidas; la dinámica del juego y de sus jugadores cambia completamente.
Esta actividad didáctica permite que el estudiante realice operaciones aritméticas,
maneje proporciones, razones e involucre porcentajes y números fraccionarios. Ayuda
a comprender y visualizar el comportamiento aleatorio de los diferentes estados y el
cálculo de probabilidades. Facilita espacios para desarrollo de trabajo cooperativo, toma
de decisiones y liderazgo, al tiempo que estimula la resiliencia entre compañeros.
Actividad 2: Estimación del volumen de un árbol
El principio de Arquímedes permite estimar el volumen de un cuerpo irregular; sin
embargo, este procedimiento resulta un tanto inoperante cuando se trata de un árbol. Una
posible aproximación al volumen de un árbol se puede alcanzar mediante la aplicación
de la geometría fractal. La actividad se realiza en tres fases.
La primera fase implica que los estudiantes se familiaricen con los fractales. Luego de
una presentación básica de conceptos, los estudiantes dibujan fractales, aproximan su
dimensión y, posteriormente, construyen fractales en papel cuya dimensión sea mayor a
2 pero menor a 3. En esta fase, se estimula el pensamiento lateral, la motricidad fina y el
pensamiento espacial, entre otros [49,50].
La segunda fase, lleva a los estudiantes a incursionar en la construcción, con la ayuda de
espejos, de objetos que generen imágenes fractales. Una primera experiencia se logra al
colocar espejos de forma tal que reflejen su propia imagen, primero con dos y luego con
tres. Posteriormente se elaboran cuerpos geométricos (cubos, pirámides, octaedros) con
espejos (parte de reflejo hacia adentro) cuya arista sea de diez centímetros (previamente
acondicionados), dejando una parte de un vértice libre para poder observar por dentro.
Los estudiantes observan, describen y establecen relaciones entre las geometrías
euclidiana y fractal.
La tercera fase inicia con la selección de un árbol por cada grupo de estudiantes e
identificación de la estructura fractal que subyace en él. Seguidamente hacen un conteo
aproximado del número de ramas que le conforman. También identifican la estructura
fractal de una de las ramas, seleccionada al azar y con ayuda de una cinta de medir
establecen sus dimensiones para estimar su área y volumen. A partir de allí, realizan una
estimación del volumen que ocupa el árbol en el espacio utilizando el volumen de la rama
seleccionada, la estructura fractal del árbol y su dimensión fractal estimada, El volumen
del tronco del árbol es estimado con base en aplicaciones de la geometría euclidiana y
la altura se aproxima mediante utilización de triángulos semejantes. Se puede incorporar
una variante en el sentido de estimar el volumen de una muestra de ramas seleccionadas
aleatoriamente a diferentes alturas del árbol. La dinámica es diferente y permite a los
estudiantes establecer comparaciones entre las dos situaciones.
Esta estrategia didáctica permite que el estudiante realice operaciones aritméticas,
maneje proporciones, razones e involucre cálculos geométricos. Ayuda a comprender
y visualizar el comportamiento geométrico de objetos no euclidianos. Facilita espacios
para desarrollo de trabajo colaborativo, al tiempo que estimula los pensamientos: lateral,
aleatorio, variacional, métrico y espacial.
La actividad puede extenderse mediante un trabajo académico similar tendiente a estimar
el área total que cubren las hojas de un árbol. Puede llevar esto a estimar cantidades de
oxígeno y nitrógeno producido en el proceso de fotosíntesis
Fase III: Hallazgos
Los docentes no habían desarrollado este tipo de prácticas pedagógicas en sus clases
de matemáticas. Parte de la innovación la relacionan con la vinculación del trabajo
cooperativo entre estudiantes y la forma de abordar la solución de los problemas
planteados. Manifiestan que los estudiantes se vieron en la necesidad de complementar
con lecturas y consultas bibliográficas, realizadas a través de la web, los conceptos básicos que tenían sobre la bolsa de valores y su funcionamiento, incursionaron en el
estudio del mercado bursátil y manifiestan que comprendieron muchos aspectos sobre
la dinámica y el funcionamiento de la bolsa de valores, las acciones y el capital de las
empresas.
La segunda práctica despertó inicialmente el interés por la exploración de una nueva
geometría y la construcción de objetos en los que subyace el modelo fractal así como
las aplicaciones de la geometría fractal. Les llamó bastante la atención la exploración
de nuevas dimensiones geométricas y sus aplicaciones en diferentes áreas del saber.
Los estudiantes manifestaron interés y trabajaron en forma dinámica en la construcción
de objetos fractales. Se desarrolló un buen trabajo de tipo colaborativo al momento de
realizar la práctica sobre el cálculo del volumen de un árbol, fue novedoso e interesante
para ellos.
Los estudiantes manifestaron que inicialmente tenían cierta prevención para la
realización de las actividades, pero que luego que iniciaron a trabajar no se percataron
en qué momento se habían incursionado en ellas y las desarrollaron con mucha facilidad
y entrega. Dicen que les motivó a buscar cómo explorar y aplicar conceptos. Afirman
que aun cuando se trataba de clase de matemáticas, no vieron dificultad en trabajar y
aplicar conceptos matemáticos, estos casi ni se notaban pero los estábamos aplicando:
“aprendimos matemáticas sin darnos cuenta”, relatan varios de ellos.
Se aplicó el post-test o test de salida con un promedio aritmético global de 3,87 y desviación
estándar de 0,64. Nuevamente, las pruebas indicaron la no diferencia significativa entre
grupos. Se infiere a partir de los resultados de las pruebas Fisher, para comparación de
varianzas, y t-student, para comparación de promedios, que se presentó disminución
significativa en la variabilidad de los datos con aumento significativo en el promedio
correspondientes a desarrollo de pensamiento matemático.
El trabajo mediante aprendizaje basado en problemas y aprendizaje cooperativo permitió motivar a los estudiantes en el desarrollo del proceso de construcción de su propio
conocimiento mediante el trabajo en equipos cooperativos en los que determinan roles
según sus habilidades y participan activamente en la construcción de un conocimiento
colectivo.
El estudio permitió determinar que las prácticas pedagógicas desarrolladas por docentes
que impliquen innovación y creatividad en los alumnos, que propendan por el trabajo
cooperativo y que relacionen las matemáticas con otras disciplinas que sean en cierta
forma atractivas a los estudiantes, conllevan a generar ambientes de aprendizaje
significativo de las matemáticas.
El docente que opte por la implementación de prácticas pedagógicas en el sentido
descrito en este estudio, tendrá que tener presente cuatro aspectos fundamentales: (a)
ser creativo e innovador en la generación de actividades pedagógicas que despierten el
interés en sus estudiantes al momento de trabajar en el aula incorporando aplicaciones
de la matemática en diferentes disciplinas, (b) antes de iniciar el proceso de su práctica
pedagógica deberá planificar sus resultados de aprendizaje, la distribución del tiempo
de trabajo, el material didáctico, la conformación de los grupos y los roles que asumirán
sus integrantes, (c) orientar las etapas del aprendizaje, supervisar el trabajo cooperativo e
intervenir cuando sea necesario y acompañar a sus estudiantes durante todas la actividad,
(d) estimular la socialización de resultados, organizar actividades complementarias y
promover la autoevaluación.
Conflicto de intereses: Los autores manifiestan que no hay conflicto de intereses
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